Логика ықтималдықтар теориясының мәселелерін қалай шешуге көмектеседі

ӘОЖ

372.851

 

 

Логика ықтималдықтар теориясының мәселелерін қалай шешуге көмектеседі

 

Ералы А.М. Сұлтанқұл В.Б.

 ainn.9797@mail.ru Venera.096@mail.ru

Cемей қаласының Шәкәрім атындағы мемлекеттік университеті

«Математика» мамандығының III курс студенттері

Ғылыми жетекші – Тайболдина Қ.Р.

Бағыты: Ықтималдықтар теориясы

 

Кілт сөз: логика заңдары, терістеу, ықтималдық, кері оқиға.

 

Аннотация: Мақалада оқушылар «Кездейсоқ оқиғалар және олардың ықтималдықтары» және «кері оқиғаларын» зерттеу барысында кездесетін логикалық қиындықтарды талқылайды.

 

Ықтималдықтар теориясының элементтері осыдан он жыл бұрын мектептерде оқытыла бастады және осы тақырып бойынша тапсырмалар 2012 жылы ұлттық біріңғай тестілеуге (ҰБТ) енгізілді. Тәжірибе көрсеткендей, кездейсоқ оқиғаның ықтималдығын есептеу үшін жеткілікті қарапайым есептерді шешкен кезде, оқушылар жиі қисынды сипатта қиындықтарға тап болады. Осылайша, кейбір мәселелерде оқиғаның тікелей ықтималдығын анықтау оңай емес, бірақ  тікелей қарама-қарсы оқиғаның ықтималдығын табу оңай және P(A) = 1-P(Ā)  формуласын қолдануға болады. Мысалы,  бұл жағдай екі (немесе одан да көп) оқиғадан кем дегенде біреуі орын алса, оқиға орын алу ықтималдығын есептеу қажет болған кезде пайда болады.

Қарама-қарсы оқиғаларды дұрыс өрнектеу үшін, оқиғаны суреттейтін кері сөйлемді есеептеуге ыңғайлы түрге келтіру қажет. Мұндай трансформация, әдетте, келесі логика заңдарына сәйкес жүзеге асырылады (Моргон заңдары)

 

Ø(А v B) Е ØА&ØВ

және

ØP(x)  ØР(х).

 

Бұл есепті оқушылардың шығаруына қиындықтар туындайды.

Оларды, кері оқиғаларды логика заңына сәйкес өрнектеуге үйрету қажет. Мәселенің үлкені, ол үшін қандай әдістерді қолдану қажет. Оқушылардың логикалық ойлау қабілетіне сүйену жеткілікті ме? Бідің ағдайымызда, ол жеткіліксіз. Математика сабақтарында оқушыларды логиканың негізгі заңдарымен таныстырған (логикалық тепе-теңдік заңдарымен) және оларды қолдануға үйреткен дұрыс деп ойлаймыз.

Оқиғаға кері оқиғаны табу есептері, ҰБТ ықтималдықтар теориясы тапсырмаларында да кездеседі. Оларды шешудегі қателіктердің көпшілігі оқушылардың кері оқиғаны дұрыс көрсетпеуімен байланысты. Осыған байланысты мысал қарастырайық.[1].

Тапсырма 1. Іс-шараға қарама – қарсы  келетін оқиғаны көрсетіңіз «Менің жаңа көршімнің есімі Таңшолпан немесе Айгерім» [2].

Оқушылар толығымен күтпеген қате жауаптар берді.

  1. Менің сыныптағы жаңа көршімнің есімі Таңшолпан, бірақ Айгерім емес.
  2. Менің сыныптағы жаңа көршімнің есімі Таңшолпан деп те немесе Айгерім деп те аталмайды .
  3. Менің сыныптағы жаңа көршімнің есімі Сабыржан деп аталады.
  4. Менің сыныптағы жаңа көршім – ұл бала.
  5. Менің сыныптағы жаңа көршім жоқ.
  6. Мен сыныпта жалғыз отырамын.

Әрине, осындай қателіктерді орта мектеп оқушылары жасайды.

 

Дұрыс шешім қабылдау үшін бастапқы сөйлем «Менің жаңа көршімнің есімі Таңшолпан немесе Айгерім»  екі сөйлемнің дизъюнкцию  екенін түсінеміз «Менің жаңа көршімнің есімі Таңшолпан немесе Айгерім». Демек, Моргон заңын сәйкес

Ø(А v B)  ØА&ØВ дұрыс жауап былай болады: «Менің сыныптағы жаңа көршімнің есімі Таңшолпан емес және менің сыныптағы жаңа көршімнің есімі Айгерім де емес», болмаса «менің сыныптағы жаңа көршімнің есімі Таңшолпан емес және Айгерім де емес».

Мынадай сұрақ пайда болады. Мұғалім жауаптың қате екендігін оқушыға қалай түсіндіру керек?

Шынында да, математика бойынша оқулықтарда тіпті қарама-қарсы оқиғаны көрсетіп, оны қалай алғанын түсіндіре алмайсыз.

Тапсырма 2. 36 карталық колоданың  ішінен олар кездейсоқ 5 картаны  суырып алады. Таңдалған карталар арасында кем дегенде бір жасыл карточканың болу ықтималдығы бар ма?

Шешім. <…> Егер А біз үшін қызығушылық тудырса, онда оның керісінше А-ның болуы, таңдап алған 5 картаның ішінде  бірде бір жасыл картаның  жоқ екендігін білдіреді.

Кері оқиғаны оқушылар қаншалықты түсінеді. Басқаша айтқанда, олардың түсінгені қаншалықты түсінікті: «Карталардың ішінде  кем дегенде біреуі (таңдалған бесеудің арасында) жасыл карта» деген сөздің «кез келген (таңдалған бес карталар арасында) жасыл карта жоқ?»  деген сөйлемге тең деген ұғым бар ма? Айта кетейік, бұл ұсыныстар логика заңына тең:

 

¬ƎxP (x) ØР(х).

 

Егер сіз оқушыларға логика заңын  үйретпесеңіз онда, шынында да, олардан жауаптарды дәлелдеуді сұрамайсыз.

Егер оқушылар  логика заңдарын білсе, онда оларға сілтеме жасай отырып, олардың жауаптарын анықтауы мүмкін. Өз кезегінде, мұғалім оларға бір жауапты неге дұрыс деп тапқанын, екіншісінің дұрыс емес деп тапқанын түсіндіре алады.

ҰБТ-дің типтік мәселесін қарастырайық.

Тапсырма 3. Дүкенде үш төлем автоматы тұр. Әрқайсысының дұрыс жұмыс істемеу ықтималдығы 0,1 – ге тең. Ең болмағанда бір автоматтың дұрыс жұмыс істеу ықтималдығын тап.

Мысалдағы автоматтар бір – біріне тәуелсіз жұмыс жасайтындығы белгілі. Оқушылар көбінесе немесе жиі қарама – қарсы оқиғаларды өрнектеуде келесідегі қателіктерді жібереді: Ең болмағанда бір автомат дұрыс жұмыс істейді деген оқиғаға қарама – қарсыны, ең болмағанда бір автомат бұзылған деген тұжырыммен ауыстырады. [2].

Онда бұзылған автомат нақты біреу ықтималдығы  «0,1» «0,9» «0,9» немесе нақты екі автомат ықтималдығы «0,1» «0,1» «0,9» немесе барлық үш автоматта бұзылған ондағы ықтималдығы «0,1» «0,1» «0,1». Сонда ең болмағанда бір автомат бұзылған жағдайдың ықтималдығы 0,271 ге тең. Ізделінді ықтималдықты табу үшін 1 – 0,271=0,7297

Дұрыс шешімді төменде келтіреміз: ««Кем дегенде бір төлем аппараты қызмет көрсетуге жарамды»  оқиғасына кері оқиға «Барлық 3 төлем аппараты да қызмет көрсетуге жарамсыз» оқиғасы болып табылады. Оның ықтималдығы 0,1*0,1*0,1=0,001. Онда бізді қызықтырған оқиғаның ықтималдығы 1-0,001=0,999» Бұл кері оқиға келесі заңға сүйеніп алынған:

 

¬ƎxP (x) ØР(х).

 

Осылайша, оқушылардың логикалық ойлау қабілетін дамыту  тек дәлелдеу  үшін  ғана маңызды болып табылмайды, сонымен қатар ықтималдықтар теориясы кейбір мәселелерді шешу үшін де қажет.

 

ЕСКЕРТУ. Шын мәнінде, белгілі бір жағдайға қарама-қайшылықты көрсету үшін, осы оқиғаны сипаттайтын сөйлемнің терістігін өзгерту жеткілікті.

Сонымен қатар математикада «берілгенге қарсы ұсыныс» термині қолданылады. Қарама-қарсы  A  ―˃ B , ƎA ―˃Ǝ B сөйлемі  деп аталады. Кей кездерде  кері сөйлемдерден оқушылар қателесіп, осыдан бас тартады.

Мұндай қателер «қарама – қарсы» сөзін басқа мағынада қолданумен байланысты. Оларды болдырмау үшін, «осыған қарсы іс-қимыл» терминінен басқа, мысалы, «осыған альтернативті  оқиға» терминді пайдалану тиімді болуы мүмкін.

Қорытындылай келе, мектептің математика курсын оқыған кезде логика элементтерін, атап айтқанда, логика заңдарын зерттеуге жеткіліксіз көңіл бөлінеді. Логиканың заңдарын білу және оларды қолдану оқушыларға  әртүрлі математикалық мәселелерді шешуде нақты көмек береді. Логика элементтері  мен  логиканың заңдарын  қолдануға болатын мектептегі математика курсында лайықты орынға ие болуы керек деп санаймыз.

 

 

 

 

Пайдаланылған әдебиеттер тізімі

  1. Высоцкий И.Р., Ященко И.В. EGE 2016. Математика. Ықтималдықтар теориясы. 4 тапсырма (профиль деңгейі). 10-міндет (базалық деңгей). Жұмыс дәптері. – Мәскеу: MCNMO, 2016.
  2. Моркович А.Г., Семенов П.В. Оқиғалар. Ықтималдықтар. Деректерді статистикалық өңдеу: қосу. алгебра 7-9 жасушаларының бағыты. жалпы. мекемелер. – 5-ші жазба. – М .: Мномосынь.
  3. Тюрин Ю.Н. Ықтималдылық және статистика теориясы. – 2-ші б., Перераб. – М .: МЦНМО: «Мәскеу оқулықтары» АҚ, 2008 ж

<h2>Ұқсас жазбалар</h2>

 

 

Leave a Comment

Website Protected by Spam Master