Қозғалысқа араналған бір мәтінді есептің шығарылуы

Садықов Амангелді – математика пәнінің мұғалімі

Садықова Мухлиса – физика пәнінің мұғалімі

ШҚО, Бородулиха ауданы, Зубаир орта мектебі

 

Есеп:Таңғы сағат 6 – да А қаласынан В қаласына жүк мәшинесі шықты. 6 сағаттан соң В қаласынан А қаласына оған қарсы сол жолмен жеңіл автомобиль шықты. Автомобильдер тұрақты жылдамдықпен жүрді. Алдын  ала келісіп, олар бір мезгілде А мен В арасындағы С ауылына келді. Жүкті түсіру және құжаттарды хаттау 5 сағатқа созылды, содан кейін жүк және жеңіл автомобильдер өз жолдарын жалғастырып жүк және  автомобильдері сәйкес түрде А және В қалаларына сол күні бір мезгілде, 23 сағатта жетті. С ауылына автомобильдер қай уақытта келген?

(Мәскеу Мемлекеттік Университетіне түсу емтиханының есебі. Мамандар бөлімі – 2006 жыл )

Есептің шығарылуы бір ғана тақырыппен байланысты болмағандықтан, оның шешімін екі топқа бөліп қарастырайық:

І – топ.Дәстүрлі әдіс, теңдеу құру арқылы шығару

І – тәсіл.

а) жағдай. Жүк мәшинесімен жеңіл автомобильдің жылдамдықтары сәйкесінше v₁км/сағ,  v₂ км/сағ және жеңіл автомобильдің С ауылына дейін жүрген уақыты     t сағ болсын. Сонда есептің шарты бойынша жүк мәшинесі С ауылына дейін 6+t сағат, ал С ауылынан А мен В қалаларына дейін екі автомобиль де 6-t сағат жүреді. Сонымен,v₁ (6+t) =v₂(6-t)⇒  = Осылайша, v₁ (6-t) = v₂t ⇒ = яғни,  ⇒t=2

ә) жағдай. Егер жүк мәшинесі С ауылына дейінt сағ жүрген болса, ондаv₁ t = v₂(12 -t)⇒  = v₁(12 – t) = v₂(t-6)⇒  =              олай болса,  = ⟹ t = 8.  Демек, автомобильдер С ауылына сағат 14⁰⁰ – де келген.

Жауабы: 14⁰⁰

Осы екі жағдайға есептің келесі шешулерінде де тоқталамыз:

ІІ – тәсіл

а)  v₁ (6+t)  жүк мәшинесінің, ал v₂t жеңіл автомобильдің кездесуге дейінгі, сол сияқты v₁ (6 -t)  және v₂(6 -t)  кездесуден кейінгі жүріп өткен жолдары болғандықтан v₁ (6+t) + v₂t= (v_{1 +} v₂) (6 -t), осыдан  t =

=  немесе  =   екендігін ескерсек,t=2 болады.

ә)  v₁ t + v₂  (t-6)= (v_{1 +} v₂) (12 -t) ⟹t = ал,  =

әйтпесе,  =     сонымен,      t= 8

ІІІ – тәсіл

А мен В қалаларының арақашықтығы  Sкм болсын

а)Есептің шартынан  v₁=  ;  v₂=  ендеше, ⟹t=2

ә) ⟹t=8

Егер А –дан В – ға  дейінгі арақашықтықты 1 бөлікке тең деп алсақ, онда :

2. болады.

ІІ – топ. График көмегімен шығару

Есепті жол  және уақыт  координат жүйесінде шығарайық

ІV– тәсіл

а)  Көліктердің қозғалыс графигін салайық ( 1 – сурет)

S(t)

В                                      Е           К                     М

β          S-x  α

 

∙ С                                                                                                                                                  S                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 x                                                                                                                                                                                                                                α                                             β                                                                                                                                                                       t                       А                   6                FtN      6-tД                   1 — сурет

АД жүк мәшинесінің, ал FД кесіндісі жеңіл автомобильдің бүкіл жолды жүріп өткен уақыттарын көрсетеді. С   АМ  және  ЕД  кесінділерінің қиылысу нүктесі         С ∈КN,  КN⊥АД. FN = t  ізделінген уақытты және  NC = x   CK = S –x автомобильдердің кездескенге дейінгі жүріп өткен арақашықтықтарын білдіреді. АВ =S болғанда автомобильдің жылдамдықтарын , яғни α  мен β бұрыштарының тангенстерін жазамыз:            tqα = ⟹  =

tq β =  = ⟹  =

шыққан бірінші теңдеуді екіншіге бөлсек, ⇒t=2

 

ә)tqα= , tqβ =  = яғни ⟹t=8

V – тәсіл

а)∆АСN ∆СКМ ⟹   =    =

∆ДCN ∆СКE  ⟹   =    =

Олай болса,   ⟹ t=2

ә) ⟹t=8

VI – тәсіл

Есептің шығарылуын жылдамдық және уақыт координат жүйесінде қарастырайық. Көліктердің жүрілген жолға кеткен уақыттарын абцисса осіне, жылдамдықтарын ордината осіне салайық. ( 2 –сурет ).

v(t)

 

C                  Д Q               R

○○○○○                              ○○○○

FK○○○○○NM○○○○

• ●●●●○○○○○●●●●●●●○○○○
• ●●●●    ○○○○○    ●●●●●●●      ○○○○
• ●●●● ○○○○○    ●●●●●●●      ○○○○

0      6 — t N6 — t   P         6+tL      t    T                 t

2 — сурет

Жүрген жол S =vtтіктөртбұрыштың ауданына тең болғандықтан,

+

=  Ендеше,

а) ⟹t =

(6 – t + 6 + t) =( 6 –  t + t)

ә)

( ⟹t

(12 – t  + t) (12 – t+ t -6 ) ⟹

Графиктік әдісті қолдану әсіресе ҰБТ – ға дайындық барысында белгілі бір мәтінді есептерді шығаруда ыңғайлы және едәуір уақыт үнемдеуге, тақырыпты жан – жақты әрі терең түсінуге жағдай жасайды. Репетитор журналының №5-6 – 2009, №2 – 2010, №4 -2010 сандарында есептерді графиктік әдіспен шығаружолдарымен қатар, оның қысқа жолы да көрсетілген. Репетитор №2 – 2010 санында қарастырылған бірінші есепке қысқаша тоқталайық

1 – есеп. Даңғыл жолмен бір бағытта мотоциклші мен жаяу адам және оларға қарсы автомобиль жүріп келеді. Бәрінің жылдамдықтары тұрақты. Мотоциклші мен жаяу жүргінші бір нүктеде болғанда автомобиль олардан 48км қашықтықта еді. Жаяу мен автомобиль кездескенде, жаяу адам мотоциклшіден 16км–ге артта қалған еді. Автомобиль мен мотоциклші кездескенде жаяу адам мотциклшіден неше километр артта қалған еді?

Бұл есепті график көмегімен шығарған орынды екендігі оның шешімінен көрініп тұр. Бірақ бұл қалыптасқан дәстүрлі әдіс–тәсілдер нашар деген сөз емес. Ендеше, қандай да бір есепті шығарғанда белгілі тәсілдердіңқайсысын қолдану ұтымды және тиімді екенін әрдайым өзіңіз анықтауыңыз керек, әрине, ол шеберлікті қажет етеді.

Мұндай әдіс – тәсілдерді қолдану –  математика курсын қайталауда, пәнаралық байланысты дамытуда, оқушының пәнге деген қызығушылығы мен   білім сапасының артуына да өз пайдасын тигізеді деп ойлаймыз