ГЕОМЕТРИЯ ЕСЕПТЕРІН ШЕШУДІҢ ӘДІСТЕРІ

Арон Темирлан Нурланұлы

 

ГЕОМЕТРИЯ ЕСЕПТЕРІН ШЕШУДІҢ ӘДІСТЕРІ

 (№159 гимназиясының 9-сынып оқушысы)

 Ғылыми жетекшісі:

Қазез Ертай , №159 гимназиясының математика

пәні мұғалімі,  педагогика ғылымдарының магистрі

           Геометрияда есептердің алатын орны өте зор. Есептерді белгілі бір жүйемен шығару теорияны саналы меңгеруге оның практикалық мағынасын аңғарып, іс жүзіне қолдана білуге ұмтылдырады. Есептерді шешудің жалпы білік- дағдылары әдетте көптеген есептерді жүйелі шешіп жаттығу арқылы қалыптасады. Есептерді шығаруда бұрынғы шығарылған есептермен берілген есептің арасындағы ұқсастықты, жалпылықты ажырата білуі керек. Кейбір жағдайда, оқушылар мен студенттер геометриялық есептерді шығару процесінде оның шығару жолы мен тәсіліне, әрбір шығарылуының кезеңінің негізделуіне назар аудармай, тек қана белгісіз элементті есептеп табумен айналысып, есептерді шығаруда қиналады. Сондықтан оқушылар мен студенттерге кез келген математикалық есептерді шешудің жалпы әдіс-тәсілдерін үйрету керек.

Есептің шешімін әдістемелік талаптарға сай іздеуге, мақсатқа сай дұрыс шешімді табуға, жалпы есеп шығарудың әдіс-тәсілдері мен білім-білік дағдыларын қалыптыстыруға ұмтылады.

Геометрия есептерін шешудің дәстүрлі әдістеріне: а) геометриялық; ә) алгебралық; б) аралас (комбинированный) әдістері жатады. Есептерді геометриялық әдіспен шешкенде логикалық ойлаудың көмегімен белгілі теоремалар арқылы тұжырымдауды қажет ететін сөйлемдер дәлелденеді. Есептерді алгебралық әдіспен шешкенде ізделінді шаманы табу, не тұжырымдауға тиісті сөйлемді дәлелдеу тікелей есептеу жолымен немесе теңдеулер, не теңдеулер жүйесін құру арқылы іске асырылады. Тікелей есептеу әдісінің мәні: есептің берілгендері мен белгісіздерінің жан-жақты байланыстарынан аралық қосымша белгісіз шамалар тізбегі құрылып, тізбекке қатысатын әрбір белгісіз шама анықталады немесе ізелінді шама белгілі шамалар арқылы өрнектеледі.

Кейбір жағдайда белгісіз шамаларды қосымша білгісіздер арқылы байланыстырған дұрыс болады. Қосымша белгісіздердің көмегімен құрылған теңдеулерді не олардың жүйелерін шешу барысында қосымша белгісіздер ығыстырылады. Бұл жағдайда қосымша белгісіздер тірек элементі функциясының рөлін атқарады. Осы әдіс бойынша қосымша элемент белгілі және белгісіз шамалар арқылы әртүрлі екі тәсілмен байланыстырып, алынған екі өрнек бір-біріне теңестіріледі. Егер тірек элементі ретінде аудан пайдаланылса, онда оны аудандар әдісі деп атайды.

1-мысал. Тең бүйірлі трапецияның табандары  және  бүйір қабырғасы -ға, ал диагоналы -ға тең.  өрындалатынан дәлелдеу керек.

Шешуі. Есеп геометриялық әдіспен шешіледі. Есептің шарты бойынша  (2-сурет).

төбесінен  биіктігін жүргіземіз. -да: , -дан:

болатыны дәлелденді.

 

2-мысал. Төртбұрыштың қабырғаларының орталары параллельлограмның төбелері болатынын дәлелдеу керек.

Есеп геометриялық әдіспен шешіледі (3-сурет). — беріген төртбұрыш және  нүктелері – төртбұрыштың қабырғаларының орталары.

 

 

кесіндісі -ның орта сызығы. Демек, . Ал -ның орта сызығы, олай болса, . Сондай-ақ , яғни  және  төртбұрыш -тің қарама-қарсы қабырғалары, әрі параллель. Дәл, осы сияқты қалған қарама-қарсы екі қабырғаларының параллель екені дәлелденеді. Сонымен, төртбұрыш — параллелограм болады.

3-мысал. Тең бүйірлі трапецияның сүйір бұрышы -ға тең. Оған іштей дөңгелек сызылған шеңбердің ұзындығы -ға тең. -ның қандай мәнінде трапецияның ауданы екі еселі дөңгелектің ауданына тең болады.

Шешуі.  тең бүйірлі трапеция берілген:  шеңбердің ұзындығы. 1)  трапецияның ауданын; 2)  бұрышын, ( мұндағы дөңгелектің ауданы) табу керек (4-сурет).

 

 

1) трапецияның орта сызығы, — биіктігі (суретті қараңыз). Трапецияның  биіктігін анықтаймыз.  іштей сызылған шеңбердің диаметрі.  және .

Трапецияның орта сызығын табамыз: , ол үшін тікбұрышты -ді қарастырамыз: , ал . Олай болса, .

2) Дөңгелектің ауданы: , ал .

Есептің шарты бойынша: , яғни ,  және . Бұрыштың осы мәнінде трапецияның ауданы екі еселенген дөңгелектің ауданына тең болады.

Есепті шығару барысында есепті синтез әдісімен немесе алгебралық әдіспен шешуге болатынын байқауға болады. Синтез әдісі бойынша берілгендерге сүйеніп дөңгелектің радиусын, трапецияның орта сызығын, трапецияның биіктігі табу арқылы есептің талабын орындадық. Сонымен қатар тірек элементін де енгіздік.

4-мысал. Тең бүйірлі  үшбұрышының табаны  нүктесі  қабырғасын  төбесінен бастап санағанда  қатынасында бөледі, ал  нүктесі —  қабырғасының ортасы.  үшбұрышының  және  тең болса,  үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің радиусы неге тең (5-сурет) ?

 

 

          Шешуі.  арқылы белгілейік, сонда  .

-ден, косинустар теоремасы бойынша , .

дан, косинустар теоремасы бойынша, , .

дан, үшбұрыш медианалары үшін формула бойынша , сонда  тең болады.

Геометриялық есептерді шығаруда көбінесе қосымша белгісіздер енгізу әдісін қолданады. Ол – есептердің берілген элементтері мен қажетті теориялық материалдарды байланыстыруға көмегін тигізеді. Есепті шығару барысында осындай қосымша белгісіздер ығысады.

5-мысал. Үшбұрыштың қабырғалары  қатынасындай. Осы үшбұрыштың үлкен қабырғасында диаметрі жататын іштей жарты дөңгелек сызлған. Осы жарты дөңгелек ауданының үшбұрыш ауданына қатынасын табу керек (6-сурет).

 

Шешуі. Есептің шарты бойынша  арқылы белгілейміз.

.

. — шеңбердің центрі және  -биссектриса, онда .

да: ; . Сонымен, .

Егер есепте кейбір шамалардың (ұзындықтардың немесе аудандардың) қатынастарын табу талап етілсе, дербес жағдайда қандай да бір бұрышты есептеу керек болса, ондай есептер  көмекші параметр енгізу тәсілімен шешіледі. Бұл  тәсіл бойынша есепті шешу үшін сызықтық элементтердің біреуін белгілі деп алып, ізделінді шаманы сол арқылы өрнектейді де олардың қатынастарын құрады.

Жалпы, геометрия есептерін шешуде көмекші фигураларды салу мен элементтерді енгізу кейбір жағдайда есептің шешуін жеңілдетеді.

Есеп шығаруда оқытудың эвристикалық технологиясын пайдаланып, математикалық ұғымды, теоремаларды, есептерде кездесетін мәселелерді шешіп жеке нәтижелерді жалпылап қорытынды жасауға (гипотеза «формула құрастыруға» есептің тиімді (оптималды) тәсілін ойлап табуға) бағыттап үйрету керек.

Математика есептерін шығару барысында анализ мен синтез әдісінің кеңінен қолданылатыны белгілі. Шамалар өзара әрекеттестікте және өзгерісте қарастырылады. Ал, бұл оқушылар мен студенттердің дидактикалық ой-өрістерін қалыптастыруға әсер етеді. Оқушылар мен студенттердің ой-өрісін дамыту мақсатында, олардың ойлау қабілетін, кеңістік түсініктерін дамытуға бағытталған жүйелі және сапалы геометрия есептерін шығарудың маңызы өте зор. Әсіресе, оқушылар мен студенттердің ғылым мен техниканың  сандық кеңістік заңдылықтарын меңгеруіне жәрдемдесетін, іс жүзінде әртүрлі жағдайларда көбірек математикалық заңдылықтар мен теоремаларға формулалар мен функцияларға және тағы басқаларға берілген есептерге назар аударған жөн.

Пайдаланған әдебиеттер

1. Атанасян Л.С. , Гуревич Г.В. «Геометрия», ч. 1. Москва, «Просвещение», 2006.
2. Д.А. Скопец, Р.А.Хабиб «Преподавание геометрии в 9-10 классах». Москва, 1980.
3. М.А.Асқарова «Геометрия. Планиметрия. Теориясы мен есептерді шығару әдістемесі». Алматы, «С. Бегалин атындағы МБК-ның баспасы», 2013ж

[bws_related_posts]