Олимпиада по матиматике (для учителей)

 

I. Решите задачи.

1. Рыцари и лжецы. Каждому из ста жителей острова, часть жителей которого – рыцари, а остальные – лжецы, был задан вопрос: «Сколько среди вас рыцарей?». В ответ было названо сто различных чисел. Какое число было названо наверняка? (Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут.)

2. Раздел земли. Четырехугольное поле разделено двумя диагоналями на четыре треугольных участка. Стоимость всех участков одинакова. Пьер и Жан купили противоположные участки. Площадь участка Пьера равна сумме площадей трех других участков. Докажите, что цена земли за акр на участке Жана равна сумме цен за акр на остальных трех участках.

3. Игра навылет. Школьники играли в настольный теннис «на победителя». Они установили очередь и правила: вначале играют первый и второй, а в дальнейшем каждый очередной участник играет с победителем предыдущей пары. На следующий день те же школьники снова сыграли по тем же правилам, но очередь шла в обратном порядке (вчерашний последний стал первым, предпоследний – вторым, и так далее). Известно, что каждый сыграл хотя бы раз и в первый день, и во второй. Докажите, что найдутся два школьника, которые играли между собой и в первый день, и во второй.

4. Угол. Около правильного тетраэдра ABCD описана сфера. На его гранях, как на основаниях, во внешнюю сторону построены правильные пирамиды ABCD₁, ABDС₁, ACDB₁ и BCDA₁, вершины которых лежат на этой сфере. Найдите угол между плоскостями ABC₁ и ACD₁.

 

II. Методический блок.

В заданиях №5 и №6 могут содержаться математические ошибки (как в условиях «задач», так и в «ответах» и «решениях»). Если некорректно условие «задачи», то объясните, почему это так. Если неверно только «решение», то укажите все ошибки и приведите верное решение.

5. «Задача». Найдите два натуральных числа, сумма которых равна 119, а разность квадратов – простое число.

«Ответ»: 60 и 59.

«Решение». Пусть a и b – искомые числа, тогда a + b = 119 и число а² – b² – простое. Так как а² – b² = (a + b)(a – b), то а – b = 1. Решая систему уравнений , получим, что а = 60, b = 59.

6. «Задача». В шестиугольнике ABCDEF противолежащие стороны равны и параллельны, а треугольник ACE – равносторонний. Докажите, что существует такая точка О, что треугольники AOB, COD и EOF также равносторонние.

«Решение». Докажем сначала, что данный шестиугольник центрально симметричен. Действительно, так как AB и DE параллельны и равны, то ABDE – параллелограмм. Следовательно, его диагонали AD и BE пересекаются в некоторой точке О и делятся ею пополам. Аналогично, AD и CF пересекают друг друга в серединах. Значит, точка O является серединой всех трех диагоналей и центром симметрии шестиугольника.

Следовательно, треугольник DFB симметричен равностороннему треугольнику ACE относительно точки О, поэтому он также – равносторонний. Значит, центры этих треугольников совпадают с O. Пусть AD пересекает BF в точке H. Угол ÐBHO – прямой, так как DH – высота треугольника DBF, ÐHBO = 30°, так как BO – биссектриса угла B в этом же треугольнике. Поэтому ÐBOH = 60°. Но AO = BО (равные части медиан в равных треугольниках ACE и BDF). Таким образом, треугольник AOB – равнобедренный с углом 60° при вершине, то есть – равносторонний.

Аналогично доказывается, что треугольники COD и EOF – также равносторонние.

7. На уроке в 10 классе была предложена задача: «В круг радиуса R впишите равнобедренный треугольник наибольшей площади». Ученик, вызванный к на доске, записал решение, приведенное ниже.

Пусть угол при вершине равнобедренного треугольника равен a. Тогда боковая сторона треугольника: b = 2Rcos0,5a. Площадь треугольника: S = 0,5b²sina = 2R²sinacos²0,5a. Используем формулу понижения степени, тогда S = R²(1 + cosa)sina. Находя производную, получим: S’ = R²(cosa +cos2a) = R²(2cos²a + cosa –1).

Сделаем замену: t = cosa. Корни получившегося квадратного трехчлена 2t² + t – 1 равны –1 и 0,5. На промежутке (–1; 0,5) его значения отрицательны, а на промежутке (0,5; +¥) – положительны, то есть «при переходе» через 0,5 производная меняет знак с минуса на плюс, значит эта точка является точкой минимума. Таким образом, наибольшего значения площади не существует.

После этого ученик предположил, что в условии задачи опечатка: имеется ввиду не наибольшая площадь, а наименьшая.

1) Оправдано ли заключительное предположение ученика? Обоснуйте.

2) Если в его решении есть ошибки и погрешности, то укажите их и подробно прокомментируйте.

 

наибольшим по площади является равносторонний треугольник, если от всех вершин треугольника провести биссектрисы (они же медианы) , то они пересекутся именно в центре круга и точка пересечения биссектрис будет являться именно центром круга.
Выберите любой из треугольников образованный двумя отрезками биссектрис до центральной точки треугольника (центра круга), (равными радиусу круга) и одной из сторон треугольника, (будет три таких треугольника) , центральный угол этого треугольника будет равен 120 градусам, а боковые углы, равны 30 градусов.
Средняя точка делит высоты в равностороннем треугольнике в отношении 1 к 2, значит высота треугольника будет равна r умножить на 3/2, боковая сторона треугольника будет равна половине этой величины, т. к. в треугольнике с углом 30 градусов гипотенуза в два раза больше прилегающего катета (sin 30 градусов = 1/2).
площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту из противоположного этой стороне угла. Значит площадь треугольника будет равна: (3/2) *r * (3/4) * r = (9/8)* r² = 1,125 r², чем больше будет радиус круга, тем больше будет площадь вписанного треугольника, а не так как написала Людмила — у нее чем больше радиус стоящий в знаменателе, да еще в квадрате, тем меньше будет площадь.
Можно нарисовать красивый чертеж из которого будет следовать, что площадь треугольника будет на одну восьмую больше, чем площадь квадрата стороной которого является радиус круга.

 

8. Приведите как можно больше различных способов решения задачи: «Найдите наибольшее значение выражения ».

[bws_related_posts]