Арифметикалық прогрессияның алғашқы n мүшесінің қосындысы

Нарегеева Венера Мәлікшеқызы

Қызылорда облысы, Байқоңыр қаласы Қ.Қ. Тоқмұхамедов атындағы жалпы білім беретін №14 орта мектептің математика пәнінің мұғалімі

 

Сабақтың тақырыбы: «Арифметикалық прогрессияның алғашқы  n мүшесінің   қосындысы»

Мақсаты:

1. Оқушыларды  арифметикалық  прогрессияның  алғашқы  n мүшесі қосындысының формуласымен таныстырып, осы формуланы қолдану арқылы  оқушыларды  есептер шығара  білуге  үйрету.
2. Оқушылардың жаңа тақырыпты меңгеруіне мүмкіндік туғызу,  алған білімдерін  мысалдармен  бекітіп,  қорытынды жасауға және ізденушілік пен шығармашылық қабілеттерін дамыту.
3. Оқушылардың ойлау қабілеттерін,  танымдық белсенділіктерін одан әрі дамыту,  ұйымшылдыққа,  шапшаңдыққа,  іскерлікке тәрбиелеу.

Сабақтың типі:  аралас сабақ

Сабақтың түрі:  дәстүрлі сабақ

Сабақта қолданылатын әдіс-тәсілдер:  түсіндірмелі, сұрақ-жауап, жеке жұмыс, ішінара ізденушілік,

репродуктивті, «ой қозғау»

Сабақтың көрнекілігі:  мультипроектор, слайд,  нақыл сөздер,  формулалар,

ҰБТ есептері

Сабақтың  барысы

1. I.                  Ұйымдас тыру кезеңі

а) Оқушылармен амандасу

ә) Психологиялық дайындық.

Қазақ халқы қонақжай халық.  Үйімізге қонақ келсе, төрге шығарып,  жылы-жұмсағымызды ұсынып, жайлаймыз. Ендеше біз де  бүгінгі сабақта қолымыздан келгенше ерекше  белсенділік танытып,   қала мектептерінен келген қонақтарға өз сый құрметімізді тарту етейік.

б) Шығу парағын /кері байланыс/ оқушыларға тарату

1. II.    Үй тапсырмасын тексеру

Үй тапсырмасының шығару жолы слайд арқылы көрсетіледі.  Оқушылар өз жұмыстарын тексереді.

№173

a₃=25, a₁₀= -3 болатын арифметикалық прогрессияның бірінші мүшесі мен айырымын  табыңдар.

Шешуі.   a₃=25, a₁₀= -3 және a₃=a₁+2d,  a₁₀=a₁+9d  болғандықтан, келесі теңдеулер жүйесін аламыз:

 

Осыдан 7d= -3-25 немесе d= -4 аламыз. Онда  a₁=33 екенін анықтаймыз

Жауабы:  a₁=33,. d= -4

№177

ә) 30 саны -25;-19;… арифметикалық прогрессияның мүшесі бола ма?

Шешуі.

Берілгені бойынша  a₁= -25, a₂= -19 және a₂=a₁+d болғандықтан, -19=-25+d, бұдан d=6. Ендеше a_n=a₁+(n-1)d  формуласынан 30 =- -25+(n-1)*6,  30 = -25+6n-6,      30 = —31+6n,  6n =61,  n =  ;: n€N

n саны арифметикалық прогрессияның мүшесі бола алмайды.

№184

ә)      б)  сандар тізбегінің арифметикалық прогрессия болатынын немесе болмайтынын анықтап, a₁ мен d-ны анықтаңдар.

Шешуі.

d=а₂ –а₁,  d=4– ,  d= .

d=а₃ –а₂,  d= ,  d= .

d=а₄ –а₃,  d= .,  d= .

 

Арифметикалық прогрессия болады.

Жауабы: ,  d= .

III. Өткен тақырып бойынша білімдерін тексеру

«Ой қозғау»

1. Арифметикалық прогрессияның анықтамасын тұжырымда;

2. Арифметикалық прогресcияның айырымы дегеніміз не?

3. Арифметикалық прогрессияның n-ші  мүшесінің формуласын жаз.

/Өткен тақырыпты қысқаша қорытындылау/

IV. Жаңа сабақты түсіндіру

Сабақтың тақырыбы мен мақсаты айтылады.

Сабақтың айдары:

«Адамзат үшін ХХI ғасыр жаңа технологиялардың ғасыры болмақ,  ал осы жаңа технологияларды жүзеге асырып,  өмірге енгізу,  игеру және жетілдіру бүгінгі мектеп оқушылары сіздердің еншілеріңізде»

/Елбасымыздың оқушыларға  Жолдауынан/ Н.Ә. Назарбаев.

Алғашқы жүз натурал  сандардың қосындысы берілсін.

1+2+3+…+98+99+100

Бұл қосындыны қалай есептеуге болады?  Ойланып көрейік.

Бұл қосындыны барлық сандарды біртіндеп қосу арқылы табуға болғанымен, көп уақытты алады.  Сондықтан қосындыны табудың қысқа жолын іздестіру қажет. Ол үшін 1-ден 100-ге дейінгінатурал сандар қосындысын өсу және кему ретімен жазайық:

10+99+98+…+3+2+1

Бұл жазудан бірінің астына бірі жазылған сандардың қосындысы өзара тең екенін көруге болады:

1+100=2+99=3+98=…=98+3=99+2=100+1

Кез-келген сандар жұбының қосындысы 101-ге тең, ал жұптар саны 100-ді береді.

Сондықтан келесі есептеуді орындауға болады:

1+2+3+…+98+99+100=(101*100):2=5050

Арифметикалық прогрессияның алғашқы n мүшесінің қосындысының формуласын шығару үшін осы жолды қолданайық. Ол қосындыны  S_n деп белгілейміз, яғни:

S_n  =a₁+a₂ +a₃  +…+a_n                        (1)

(1) теңдіктің оң  жағындағы қосылғыштардың ретін кері ауыстырып жазсақ,  одан S_n  мәні өзгермейді. Демек S_n үшін

S_n  =a_n+a_n-1+a_n-2 +…+a₃+a₂ +a₁                       (2)

Енді (1) және ( 2) теңдіктерді мүшелеп қоссақ,  онда

2S_n=( a₁+a_n)+(a₂ +a_n-1)+(a₃+a_n-2)+…+    (a_n-2+a₃)+(a_n-1 +a₂)+(a_n+a₁)

Ендеше    2S_n=( a₁+a_n)*  n, осыдан

           S_n=                           (3)         

(2)   арифметикалық прогрессияның алғашқы n мүшесінің қосындысы туралы теореманы дәлелдедік.

Теорема.    Арифметикалық прогрессияның алғашқы n мүшесінің

қосындысы шеткі мүшелерінің қосындысының жартысын

барлық мүшелер санына көбейткенге тең болады.

Егер арифметикалық прогрессияның  n-ші мүшесінің формуласын пайдалансақ, онда арифметикалық прогрессияның алғашқы n мүшесінің қосындысының формуласы

S_n=                    (4)    болатынын үйден өз беттеріңше дәлелдейсіңдер.

Бұл формуламен a₁, d, S     белгілі болған жағдайда, прогрессия мүшесінің санын оңай табуға болады.

1+мысал.      1; 3,5; … арифметикалық прогрессияның алғашқы жиырма мүшесінің қосындысын табайық. a₁= 1,  a₂=3,5, онда d=2,5-ке тең. Прогрессияның 20-шы мүшесін табайық. Ол үшін арифметикалық прогрессияның  n-ші мүшесінің формуласын қолданамыз, сонда

a₂₀=1+2,5*(20-1)=1+2,5*19=48,5

Арифметикалық прогрессияның алғашқы n мүшесінің қосындысын анықтайтын формуланы 20-шы мүше үшін жазсақ, шыққан формулаға  a_1, a₂₀ және n-нің мәндерін қойып, іздеп отырған қосындыны табамыз:

S₂₀=

Жауабы: 495

2-мысал.

Егер арифметикалық прогрессияның төртінші мүшесі 38-ге, оныншы мүшесі 68-ге тең болса, онда арифметикалық прогрессияның алғашқы қырық бір мүшесінің қосындысын табыңдар.

Шешуі. Берілгені бойынша .a₄=38, a₁₀=68 және a₄=a₁+3d,  a₁₀=a₁+9d  болғандықтан, келесі теңдеулер жүйесін аламыз:

 

Осыдан 6d=30 немесе d=5 аламыз. Онда a₁=23 екенін анықтаймыз Енді n=41 екенін ескеріп,  (4)   формула бойынша алғашқы қырық бір мүшесінің қосындысын есептейміз. Сонда

S₄₁=

Жауабы: 5043.

3-мысал.

Егер арифметикалық прогрессияда а₁= 10, d= -1,5 және S_n=  -200 болса, онда n және  a_n –ді есептейік.

Шешуі. Есептің шарты бойынша бірінші мүшесі, айырымы және алғашқы  n мүшесінің қосындысы белгілі болғандықтан,  (4)    формуланы пайдаланамыз_. Сонда

немесе   немесе

3n²-43n-800=0  шығады.   Квадрат теңдеуді шешсек екі түбірі бар:

 

n=25-ті аламыз. Табылған n-нің мәндеріне сәйкес a_n   мәндерін

a_n=a₁+(n-1)d  формулаларын қолданып есептейміз. Сонда

a₂₅=10+(25-1)*(-1,5), бұдан   a₂₅=  -26

Жауабы: n=25;  a₂₅=  -26

V. Жаңа сабақты  бекіту.

/Оқулықпен жұмыс/

№185

103;101;… онда арифметикалық прогрессияның алғашқы

ә) жүз үш мүшесінің қосындысын табыңдар.

Шешуі.

Бер: {a_n }–арифметикалық прогрессия

a₁=103, a₂=101

S₁₀₃=?

 

a₁=103, a₂=101, онда d= -2-ге тең. Прогрессияның 103-ші мүшесін табайық.  Ол үшін арифметикалық прогрессияның  n-ші мүшесінің формуласын қолданамыз,  сонда

а₁₀₃=103-2*(103-1)=103-2*102=103-204=-101

Арифметикалық прогрессияның алғашқы n мүшесінің қосындысын анықтайтын формуланы 103-ші мүше үшін жазсақ, шыққан формулаға  a_1, a₁₀₃ және n-нің мәндерін қойып, іздеп отырған қосындыны табамыз:

S₁₀₃=

Жауабы: 103

№186

a)     Егер a₁=7 ; d=4;  n=13 болса, онда  n-ші мүшесін және алғашқы  n мүшесінің қосындысын табыңдар.

Шешуі.

Бер: {a_n }–арифметикалық прогрессия

a₁=7,  d=4, n=13

n=?  S₁₀₃=?

a_n=a₁+(n-1)d,   a_n=7+(13-1)*4=55,  S₁₃=

Жауабы: n=55,  Sn=403

№187.

a)      a₁=10, d=4, a_n=50 берілген,    n-ді және  S_n –ді табыңдар

Шешуі.

Бер: {a_n }–арифметикалық прогрессия

a₁=10, d=4,  a_n=50

n=?  S₁₀₃=?

a_n=a₁+(n-1)d,   50=10+(т-1)*4, n=11,  S₁₁=

Жауабы: n=11, Sn=330

№190

a)     4; 8;…  арифметикалық прогрессияның қосындысы 112-ге тең болатындай неше мүшесін алу керек?

Шешуі.

Бер: {a_n }–арифметикалық прогрессия

a₁=4, a₂=8, S_n=112

n=?

d=8-4=4,  a_n=a₁+(n-1)d,   112=4+(n-1)*4, a_n=4n,    S_n=   ;

S₁₅=   ;    a₁₅=a₁+=14d;    a₁₅₌; 2+14*3=44;

S₁₅=   ;

Жауабы: : a₁₅₌44;   S₁₅= 345

ҰБТ есептері (2013 жыл)

0013 нұсқа

№21

Арифметикалық прогрессияның үшінші мен сегізінші мүшелерінің қосындысы 14-ке тең, ал төртінші мүшесі жетінші мүшесінен 6-ға артық. Прогрессияның екінші мен тоғызыншы мүшелерінің қосындысын табыңыз.

Бер:    — арифметикалық прогрессия

Шешуі:

А)17      В)14     С)16     D)18    E)15

Жауабы: В

1. VI.  Сабақты қорытындылау   

Формуланы қалпына келтірейік:

 S₁₀₌  ;   S_x=  ;      S₅₀=       S_x=

 

«Сен ешбір жаңа нәрсе меңгермеген және өзіңнің біліміңе ештеңе қоспаған күнді немесе сағатты босқа өтті деп сана »

Ян Амос Каменский

VII. Үйге тапсырма

• §11 №185/а/, №186 /ә,б/, №187 /ә/, №190 /ә/, №191 /ә/

S_n=      формуласын дәлелдеу

Шығу парағын /кері байланыс/ мұғалімге тапсыру

VIII. Бағалау
[bws_related_posts]